题目

已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ． （Ⅰ）若 ，求 ； （Ⅱ）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围． 答案：解：（Ⅰ） 设 an=(n−1)d−1 ，依题意得， 6d−4−2(d−1)(2d−1)+6=0 . 解得 d=3 ，则 an=3n−4，n∈N* ， 于是 Sn=3(1+2+⋯+n)−4n=3n(n+1)−8n2=n(3n−5)2，n∈N* . （Ⅱ）设 an=(n−1)d−1 ，依题意得， [cn+(n−1)d−1][15cn+(n+1)d−1]=[4cn+nd−1]2 ， 15cn2+[(16n−14)d−16]cn+(n2−1)d2−2nd+1=16cn2+8(nd−1)cn+n2d2−2nd+1 cn2+[(14−8n)d+8]cn+d2=0 故 Δ=[(14−8n)d+8]2−4d2=[(12−8n)d+8][(16−8n)d+8]≥0 [(3−2n)d+2][(2−n)d+1]≥0 对任意正整数n成立. n=1 时，显然成立； n=2 时， −d+2≥0 ，则 d≤2 ； n≥3 时， [(2n−3)d−2][(n−2)d−1]>(2n−5)(n−3)≥0 . 综上所述， 1<d≤2 .

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