题目

已知数列 有 ， 是它的前 项和， 且 ． （1） 求证：数列 为等差数列. （2） 求 的前 项和 . 答案： 证明：当 n≥2 时， Sn2=3n2an+Sn−12 ，(Sn−Sn−1)(Sn+Sn−1)=3n2an,an≠0 所以 (Sn+Sn−1)=3n2 ， (Sn+1+Sn)=3(n+1)2 ， 两式对应相减得 an+an+1=3(2n+1) ， 所以 （an+an+1）-(an−1+an)=6n+3−(6n−3)=6 又n=2时， (3+a2)2=12a2+9,∴a2=6 所以 a3=9 ， 所以 （a2+a3）-(a1+a2)=6+9−(6+3)=6 ， 所以数列 {an+an+1} 为等差数列. 解：当 n 为偶数时， Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(an−1+an)=3(3+7+⋯+(2n−1)) =3⋅n2(3+2n−1)2=32(n2+n) 当 n 为奇数时， Sn=a1+(a2+a3)+⋯+(an−1+an) =3+3(5+9+⋯+(2n−1))=3+3n−12(5+2n−1)2=32(n2+n−2)+3 =32(n2+n) 综上： Sn=32(n2+n)

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