题目

如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM. （1） 求证：CM2=MN MA； （2） 若∠P=30°，PC=2，求CM的长. 答案： 解： ∵⊙O 中， M 点是半圆 CD 的中点， ∴   CM⌢=DM⌢ ， ∴∠CAM=∠DCM ， 又 ∵∠CMA=∠NMC ， ∴ΔAMC∽ΔCMN ， ∴   CMMN=AMCM ，即 CM2=MN·MA ； 解：连接 OA 、 DM ， ∵PA 是 ⊙O 的切线， ∴∠PAO=90° ， 又 ∵∠P=30° ， ∴OA=12PO=12(PC+CO) ， 设 ⊙O 的半径为 r ， ∵PC=2 ， ∴r=12(2+r) ， 解得： r=2 ， 又 ∵CD 是直径， ∴∠CMD=90° ， ∵CM=DM ， ∴ΔCMD 是等腰直角三角形， ∴ 在 RtΔCMD 中，由勾股定理得 CM2+DM2=CD2 ，即 2CM2=(2r)2=16 ， 则 CM2=8 ， ∴CM=22 .

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