题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1： 过点C(0，﹣3)，与抛物线L2： 的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点. （1） 求抛物线L1对应的函数表达式； （2） 若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标； （3） 设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标. 答案： 解：将 x=2 代入 y=−12x2−32x+2 ，得 y=−3 ，故点 A 的坐标为 (2， −3) . 将 A(2， −3)，C(0， −3) 代入 y=x2+bx+c ， 得 {−3=22+2b+c−3=0+0+c ，解得 {b=−2c=−3 . 所以抛物线 L1 对应的函数表达式为 y=x2−2x−3 解：设点 P 的坐标为 (x，x2−2x−3) . 第一种情况： AC 为平行四边形的一条边. ①当点 Q 在点 P 右侧时，则点 Q 的坐标为 (x+2，x2−2x−3) . 将 Q(x+2，x2−2x−3) 代入 y=−12x2−32x+2 ，得 x2−2x−3=−12(x+2)2−32(x+2)+2 ， 整理得 x2+x=0 ，解得 x1=0，x2=−1 . 因为 x=0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为 (−1， 0) . ②当点 Q 在点 P 左侧时，则点 Q 的坐标为 (x+2，x2−2x−3) . 将 Q(x+2，x2−2x−3) 代入 y=−12x2−32x+2 ，得 x2−2x−3=−12(x+2)2−32(x+2)+2 ， 整理得 3x2−5x−12=0 ，解得 x1=3，x2=−43 . 此时点 P 的坐标为 (3， 0) 或 (−43， 139) . 第二种情况：当 AC 为平行四边形的一条对角线时. 由 AC 的中点坐标为 (1， −3) ，得 PQ 的中点坐标为 (1， −3) ， 故点 Q 的坐标为 (2−x，  −x2+2x−3) . 将 Q(2−x，  −x2+2x−3) 代入 y=−12x2−32x+2 ，得 −x2+2x−3=−12(2−x)2−32(2−x)+2 ， 整理得 x2+3x=0 ，解得 x1=0，x2=−3 . 因为 x=0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，所以舍去， 此时点 P 的坐标为 (−3， 12) . 综上所述，点 P 的坐标为 (−1， 0) 或 (3， 0) 或 (−43， 139) 或 (−3， 12) 解：当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L1 不存在动点 R 使得 CA 平分 ∠PCR . 当点 P 在 y 轴右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方， 过点 P 、 R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S、T ， 过点 P 作 PH⊥TR ，垂足为 H ，则有 ∠PSC=∠RTC=90° . 由 CA 平分 ∠PCR ，得 ∠PCA=∠RCA ，则 ∠PCS=∠RCT ， 故 ΔPSC∽ΔRTC ，所以 PSCS=TRTC . 设点 P 坐标为 (x1，x12−2x1−3) ， 点 R 坐标为 (x2，x22−2x2−3) ， 所以有 x1x12−2x1−3−(−3)=x2−3−(x22−2x2−3) ， 整理得 x1+x2=4 . 在 Rt△PRH 中， tan∠PRH=PHRH=x12−2x1−3−(x22−2x2−3)x1−x2=x1+x2−2=2 . 过点 Q 作 QK⊥x 轴，垂足为 K .设点 Q 坐标为 (m， −12m2−32m+2) . 若 OQ∥PR ，则需 ∠QOK=∠PRH .所以 tan∠QOK=tan∠PRH=2 . 所以 2m=−12m2−32m+2 .解得 m=−7±652 . 所以点 Q 坐标为 (−7+652， −7+65) 或 (−7−652， −7−65) .

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