题目

如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4 ， ∠AOC＝45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t. （1） 求出点C，B的坐标； （2） 设△APQ的面积是y，求y关于t的关系式； （3） 当t为何值时，AP⊥CB？此时，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：如图1，作CD⊥OA于点D，则∠ODC＝90°，∵∠AOC＝45°，∴∠DOC＝∠DCO＝45°，∴OD＝CD，∵OD2+CD2＝OC2，OC＝42，∴2CD2＝（42）2，∴OD＝CD＝4，∴D（4，0），C（4，4），∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝8，∴xB＝4+8＝12，∴B（12，4）. 解：如图2，过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，则EF＝4，∵∠OEQ＝90°，∠AOC＝45°，∴∠EOQ＝∠EQO＝45°，∴OE＝QE，∵OE2+QE2＝OQ2，OQ＝2t，∴2QE2＝（2t）2，∴OE＝QE＝t，∴QF＝4﹣t，∵S△APQ＝S平行四边形OABC﹣S△OAQ﹣S△CPQ﹣S△APB，CP＝2t，BP＝8﹣2t，∴y＝8×4﹣12×8t﹣12×2t（4﹣t）﹣12×4（8﹣2t），∴y＝t2﹣4t+16（0≤t≤4）. 解：存在，点M的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）.

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