题目

已知数列 满足 ， . （Ⅰ）证明：数列 是等差数列； （Ⅱ）求数列 的前 项和 . 答案：解：（Ⅰ）由 an+1=an−2n+2 ，可得 an+1+2n+1=an+2n+2 ，即 (an+1+2n+1)−(an+2n)=2 ， 又 a1=1 ，∴ a1+2=3 ， ∴数列 {an+2n} 是首项为3，公差为2的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， an+2n=3+2(n−1)=2n+1 ， ∴ an=2n+1−2n ， ∴ Sn=(3+5+⋅⋅⋅+2n+1)−(2+4+8+⋯+2n) =12n(2n+4)−2(1−2n)1−2=n2+2n−2n+1+2 .

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