题目

设正项数列 的前 项和为 ， ，且 . （1） 证明：数列 是等差数列并求数列 的通项公式； （2） 已知 ，数列 的前 项的和为 ，若 对一切 恒成立，求 的取值范围. 答案： 证明： ∵Sn+1=Sn+2Sn+1 ， ∴Sn+1=(Sn+1)2 . ∵Sn>0 ， ∴Sn+1−Sn=1 ， ∵S1=a1=1 ， ∴ 数列 {Sn} 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴Sn=1+n−1=n ， ∴Sn=n2 . 当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1 ， 当 n=1 时， 2n−1=1=a1 . 故 an=2n−1. 解： ∵bn=14Sn−1=14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1) ， ∴Tn=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1 . ∵Tn≤λ(4Tn+Sn−4Sn) 对一切 n∈N* 恒成立 ∴n2n+1≤λ[4(2n+1)n+n−4n] ， ∴λ≥n2n2+17n+8 ， ∵n2n2+17n+8=12n+8n+17≤122n⋅8n+17=125 ， 当且仅当 n=2 时取等号， ∴λ≥125 ， 故 λ 的取值范围是 [125，+∞) .

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