题目

已知函数 .(Ⅰ)求函数 的最小正周期及单调递增区间；(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值. 答案：解：(Ⅰ)已知函数 f(x)=cos2x+3sinxcosx化解可得： f(x)=12+12cos2x+32sin2x=sin(2x+π6)+12所以函数 f(x) 的最小正周期 T=2π2=π由 −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ ， (k∈Z) 解得： −π3+kπ≤x≤π6+kπ所以函数 f(x) 的单调递增区间为： [−π3+kπ，π6+kπ] ， (k∈Z)(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=sin(2x+π6)+12当 x∈[−π6，π3] 时，可得： −π6≤2x+π6≤5π6所以 −12+12≤sin(2x+π6)+12≤1+12 ，即 0≤f(x)≤32 .当 2x+π6=π2 ，即 x=π6 时， f(x) 取得最大值 32 ；当 2x+π6=−π6 ，即 x=−π6 时， f(x) 取得最小值0.故得 f(x) 在区间在 [−π6，π3] 上的最大值为 32 ，最小值为0.

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