题目

在 中，∠B=90°，D是 外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点． （1） 尺规作图：在图中作出点 ；（要求不写作法，保留作图痕迹） （2） 如图，连接 ， ，过点 的直线交边 于点 ，交该外接圆于点 ，交 的延长线于点 ， ， 的延长线交于点 ， ． ①若 ， ， ，求 的长； ②若 ，求 的度数 答案： 解：作 ∠B 的平分线，如图点 D 即为所求． 解：① ∵ AE⌢=BC⌢ ， ∴ AE⌢+AB⌢=BC⌢+AB⌢ ，即 BAE⌢=ABC⌢ ， ∴ BE=AC ， ∵ 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90° ， ∴ AC=AB2+BC2=5 ． ∴ BE=5 ； ②如图，连接 AD ， ∵ ∠ABC=90° ， ∴ AC 为直径， ∴ ∠ADC=90° ， ∵ D 是 AC⌢ 中点， ∴ AD⌢=DC⌢ ， ∴ AD=DC ， ∠ABD=∠DBC=45° ， ∴ ∠ACD=∠CAD=45° ， 把 △ADB 绕点 D 逆时针旋转90°，则点 A 与点 C 重合， B 对应点为点 F ， 则有 ∠BAD=∠DCF ， ∠BDF=90° ， FC=AB ， ∵ 四边形 ABCD 为 △ABC 外接圆的内接四边形， ∴ ∠BAD+∠BCD=180° ， ∴ ∠DCF+∠BCD=180° ， ∴ B ， C ， F 三点共线， ∴ BF=BC+FC=BC+AB ， ∵ ∠BDF=90° 且 ∠DBC=45° ， ∴ ∠DBC=∠F=45° ， DB2+DF2=BF2 ， ∴ DB=DF=22BF ， ∴ BD=22BF=22(AB+BC) ， ∵ PD=22(AB+BC) ，且 DP=DQ ， ∴ DP=DQ=BD ， ∴ ∠P=∠PBD ， ∠Q=∠QBD=45° ， ∴ ∠BDC=2∠P ， ∠QDB=90° ．， ∴ BE 为直径， ∴ ∠BAE=90° ， 连接 AD ， EC ，则有 ∠AEC=90° ． ∴ 四边形 ABCE 为矩形， ∴ AC=BE ， AC=2MC ， BE=2MB ． ∴ MA=MB ． ∴ ∠MAB=∠ABM ． ∵ BC⌢=BC⌢ ， ∴ ∠MAB=∠BDC ． 设 ∠P=α ，则 ∠ABM=2α ． ∵ ∠ABM+∠PBD=∠ABD=45° ． ∴ 2α+α=45° ． ∴ 解得 α=15° ． ∴ ∠BDC=30° ． ∵ DP=DQ ． ∴ DB=DQ ． ∴ ∠Q=∠QBD=45° ． ∴ ∠BDQ=90° ． ∴ ∠PDQ=180°−∠BDQ−∠BDC=180°−90°−30°=60° ．

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