题目

已知曲线 ，过点 作直线 和曲线 交于 、 两点. （1） 求曲线 的焦点到它的渐近线之间的距离； （2） 若 ，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 ，求直线 倾斜角的取值范围； （3） 过点 作另一条直线 ， 和曲线 交于 、 两点，问是否存在实数 ，使得 和 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数 的取值集合，如果不存在，请说明理由. 答案： 解：曲线 C 的焦点为 F1(−2,0),F2(2,0) ，渐近线方程 y=±x ， 由对称性，不妨计算 F2(2,0) 到直线 y=x 的距离， d=|2−0|2=1 . 解：设 l:y=kx(0<k<1) ， A(x1,y1),B(−x1,−y1),H(x1,0) ，从而 kBH=y12x1=k2 又因为点 A 在第一象限，所以 0<k<1 ， 从而 kBH∈(0，12) ， 所以直线 BH 倾斜角的取值范围是 (0,arctan12) 解：当直线 l:y=0 ，直线 m:x=t |AB|=2,E(0,t2−1),F(0,−t2−1) ， 2t2−1=2⇒t=±2. 当直线 l:x=t ，直线 m:y=0 时， t=±2 不妨设 l:y=k(x−t)(k≠0) ，与双曲线联立可得 (1−k2)x2+2k2tx−(1+k2t2)=0 ， 由弦长公式， |AB|=1+k2Δ|1−k2|=21+k2(t2−1)k2+1|1−k2| 将 k 替换成 −1k ，可得 |EF|=2k2+1t2−1+k2|k2−1| 由 |AB|=|EF| ，可得 (t2−1)k2+1=t2−1+k2 ， 解得 t=±2 ，此时 Δ=4(k2t2−k2+1)>0 成立． 因此满足条件的集合为 {−2,2}

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