题目

在平面直角坐标系xOy中，对于 ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与 ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为 ABC关于边BC的“Math点”.如图所示，点P即为 ABC关于边BC的“Math点”.已知点P(0，4)，Q(a，0). （1） 如图1，a＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C( ， )、D(5，5)中， POQ关于边PQ的“Math点”为. （2） 如图2， ， ①已知D(0，8)，点E为 POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围； ②将 POQ绕原点O旋转一周，直线 交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在 POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围. 答案： 【1】B，C 解：如图2中， ∵P（0，4），Q（4 3 ，0）， ∴OP＝4，OQ＝4 3 ， ∴tan∠PQO＝ 33 ， ∴∠PQO＝30°， ①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2 3 ，2）， ∵D（0，8）， ∴DE＝ (23)2+62 ＝4 3 ， 当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4 3 ，8）， ∴DE′＝4 3 ， 观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”， ∵E′Q⊥OQ， ∴∠E′QO＝90°， ∴∠E′QK＝60°， ∴∠E′KQ＝90°， ∴∠EE′Q＝30°， ∵DE′∥OQ， ∴∠DE′K＝60°， ∵DE′＝DK， ∴△DE′K是等边三角形， ∵点D到E′K的距离的最小值为4 3 •sin60°＝6， ∴ 6≤x≤43 . ②如图3中，分别以O为圆心，2和4 7 为半径画圆， 当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”， 当直线MN与小圆相切时，b＝±4， 当直线MN与大圆相切时，b＝±8 7 ， 观察图象可知，满足条件的b的值为： 4≤b<87 或 −87<b≤-4

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