题目

定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解： （1） 如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）； （2） 如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”； （3） 如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2 ，求FH的长． 答案： 解：由图1知，AB= 5 ，BC=2 5 ，∠ABC=90°，AC=5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴ ACCD=ABBC=12 或 ACCD=BCAB=2 ，∴CD=10或CD=2.5同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10 解：∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=40°，∴∠A+∠ADB=140°∵∠ADC=140°，∴∠BDC+∠ADB=140°，∴∠A=∠BDC，∴△ABD∽△BDC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线” 解：如图3，∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH=∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴ FEFH=FHFG ，∴FH2=FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，∴EQ=FE•sin60°= 32 FE，∵ 12 FG×EQ=2 3 ，∴ 12 FG× 32 FE=2 3 ，∴FG•FE=8，∴FH2=FE•FG=8， ∴FH=2 2

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