题目

如图1，AB∥CD，，，求的度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．（1）按小明的思路，求的度数；（2）（问题迁移）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；（3）（问题应用）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系（并画出相应的图形）．答案：解：过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．解：∠APC＝α+β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；解：如图所示，当P在BD延长线上时，过点P作PE∥CD交ON于E，则PE∥AB， ∴∠APE=α，∠CPE=β， ∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β；如图所示，当P在DB延长线上时，过点P作PE∥CD交ON于E，则PE∥AB， ∴∠CPE=β，∠APE=α， ∴∠CPA=∠CPE-∠APE=β-α．

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