题目

已知， . （1）记，当，时，求在，的值域；（2）当时，讨论方程的解的个数. 答案：解： f(x)=|x+4|+2 ， g(x)=1x ，则 h(x)=f(x)g(x)=x(|x+4|+2) ，当 (−4，0)∪(0，2] 时， h(x)=x2+6x=(x+3)2−9 ，当 x=2 时， h(x) 取得最大值16， x=−3 时， h(x) 取得最小值 −9 ， h(0)=0+0=0 ，即 h(x) 的值域为 [−9,0)∪(0,16] ；解：当 a=3 时， f(x)=|x−3|+2 ， g(x)=mx ， f(x)=g(x)⇔|x−3|+2=mx⇔m=x(|x−3|+2) ，设 h(x)=x(|x−3|+2)={x2−x,x⩾35x−x2,x<3,x≠0 ，即 h(x)={(x−12)2−14,x⩾3−(x−52)2+254,x<3,x≠0 作出 y=h(x) 的图象，由图象可得， h(x) 在 (−∞,0) ， (0，52) ， (3，+∞) 单调递增，在 (52，3) ，单调递减，且 h(52)=254 ， h （3） =6 ，所以当 m<0 ，或 0<m<6 ，或 m>254 时， y=m 和 y=h(x) 的图象有一个交点，即 f(x)=g(x) 的解的个数为1；当 6<m<254 时， y=m 和 y=h(x) 的图象有三个交点，即 f(x)=g(x) 的解的个数为3. 当 m=254 或 m=6 时， y=m 和 y=h(x) 的图象有两个交点，即 f(x)=g(x) 的解的个数为2. 当 m=0 ， y=m 和 y=h(x) 的图象有没有交点，即 f(x)=g(x) 的解的个数为0.

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