题目

如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB ， AC ， 已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ． （1） 求y关于x的函数解析式； （2） 如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？ 答案： 解：在 ΔBCF 中, CF=x,∠FBC=30°,CF⊥BF ,所以 BC=2x . 在 ΔABC 中， AB=y,AC=y−1,∠ABC=60° ， 由余弦定理，得 AC2=BA2+BC2−2BA⋅BCcos∠ABC ， 即 （(y−1)2=y2+(2x)2−2y⋅2x⋅cos60° ， 所以  （y=4x2−12x−2 .         由 AB−AC<BC ， 得 2x>1,x>12 . 又因为 （y=4x2−12x−2>0 ，所以 x>1 . 所以函数 （y=4x2−12x−2 的定义域是 (1,+∞) . 解： M =30⋅(2y−1)+40x . 因为 （y=4x2−12x−2 （ x>1 ）， 所以 （M=30⋅(2⋅4x2−12x−2−1)+40x 即 （M=10⋅(12x2−3x−1+4x-1）) .  令 （t=x−1, 则 t>0 . 于是 M(t)=10(16t+9t+25),t>0 ， 由基本不等式得 M(t)≥10(2144+25)=490 ， 当且仅当 （t=34 ，即 （x=74 时取等号. 答：当 x=34 km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价 M 为490万元.

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