题目

如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD光滑，内圆的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑。一质量m=0.2kg的小球从轨道的最低点A处以初速度v0向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R=0.2m，取g=10m/s2。 （1） 若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？ （2） 若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力FC=2N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？ （3） 若v0=3.1m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？（保留三位有效数字） 答案： 解：在最高点重力恰好充当向心力 mg=mvC2R 从到机械能守恒 2mgR=12mv02-12mvC2 解得 v0=10m/s 解：最高点 mg-FC=mvC'2R 从A到C用动能定理 -2mgR-Wf=12mvC'2-12mv02 得 Wf=0.1J 解：由 v0=3.1m/s<10m/s 于，在上半圆周运动过程的某阶段，小球将对内圆轨道间有弹力，由于摩擦作用，机械能将减小。经足够长时间后，小球将仅在半圆轨道内做往复运动。设此时小球经过最低点的速度为 vA ，受到的支持力为 FA mgR=12mvA2 FA-mg=mvA2R 得 FA=6N 整个运动过程中小球减小的机械能 ΔE=12mv02-mgR 得 ΔE=0.56J

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