题目

现在科学技术研究中常要用到高速电子，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图甲所示，上、下为两个电磁铁，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室内做圆周运动。电磁铁线圈电流的大方向可以变化，在两极间产生一个变化的磁场，这个变化的磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是在同一平面内的一系列同心圆，产生的感生电场使电子加速。图甲中上部分为侧视图，下部分为俯视图，如果从上往下看，电子沿逆时针方向运动。已知电子质量为m、电荷量为e，初速度为零，电子圆形轨道的半径为R。穿过电子圆形轨道面积的磁通量Φ随时间t的变化关系如图乙所示，在t0时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B0 ， 电子加速过程中忽略相对论效应。 （1） 求在t0时刻后，电子运动的速度大小； （2） 求电子在整个加速过程中运动的圈数； （3） 为了约束加速电子在同一轨道上做圆周运动，电子感应加速器还需要加上“轨道约束”磁场，其原理如图丙所示。两个同心圆，内圆半径为R，内圆内有均匀的“加速磁场”B1 ， 方向垂直纸面向外。另外在两圆面之间有垂直纸面向外的“轨道约束”磁场B2 ， B2之值恰好使电子在二圆之间贴近内圆面在；B2磁场中做逆时针的圆周运动（圆心为0，半径为R），现使B1随时间均匀变化，变化率（常数）为了使电子保持在同一半径R上做圆周运动，求磁场B2的变化率。 答案： 解：在t0时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B0，电子在磁场中作匀速圆周运动，受到洛伦兹力等于向心力，可得B0ev0=mv02R解得v0=B0eRm 解：加速后电子的动能为Ek=12mv02＝e2B02R22m感生电场的感应电动势为E感＝Φ0t0电子加速运动一圈获得的能量为eE感，则电子在整个加速过程中运动的圈数为n=EKeE感=eB02R2t02mΦ0 解：电子作圆周运动时受到洛伦兹力等于向心力为evB2＝mv2R根据法拉第电磁感应定律，B1产生的电动势为U=ΔΦΔt=ΔB1⋅SΔt=kπR2感生电场的电场强度为E=U2πR=12kR电子所受电场力为F=eE=12keR由动量定理可得ΔPΔt=F=12keR若要使半径不变，则有ΔB2Δt=ΔPΔteR=k2

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