题目

设数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=2，an+1=2Sn+2． （1） 求数列{an}的通项公式； （2） 若数列{bn}的各项均为正数，且bn是 与 的等比中项，求bn的前n项和Tn ． 答案： 解：由an+1=2Sn+2，得 an=2Sn﹣1+2（n≥2），两式作差得：an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，即 an+1an=3(n≥2) ．又a2=2S1+2=2a1+2=6，∴ a2a1=3 ．∴数列{an}是以2为首项，以3为公比的等比数列．则 an=2⋅3n−1 解：∵数列{bn}的各项均为正数，且bn是 nan 与 nan+2 的等比中项， ∴ bn2=n2⋅3n−1⋅n2⋅3n+1=n24⋅32n ， bn=n2⋅3n ．∴ Tn=12×31+22×32+32×33+⋯+n2⋅3n ． 13Tn=12×32+22×33+⋯+n2⋅3n+1 ．作差得： 23Tn=12×31+12×32+⋯+12⋅3n−n2⋅3n+1 = 12×13(1−13n)1−13−n2⋅3n+1 = 14(1−13n)−n2⋅3n+1 ．∴ Tn=38(1−13n)−n4⋅3n

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