题目

如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： （1） 次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2） 此匀强磁场区域的最小面积。 答案： 解：设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧 AEC⌢ 是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力 f=ev0B    ① 应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧 AEC⌢ 的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为 a 按照牛顿定律有 f=mv022    ②    联立①②式得        B=mv0ea 解：由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自 C 点垂直于 BC 入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧 AEC⌢ 是所求的最小磁场区域的一个边界。 为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为 θ （不妨设 0≤θ<π2 ）的情形。该电子的运动轨迹 qpA 如右图所示。图中，圆 AP⌢ 的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由③式知，圆弧 AP⌢ 的半径仍为 a ，在D为原点、DC为x轴，AD为 y 轴的坐标系中，P点的坐标 (x,y) 为 x=asinθ④y=−[a−(z−acosθ)]=−acosθ⑤ 这意味着，在范围 0≤θ≤π2 内，p点形成以D为圆心、 a 为半径的四分之一圆周 AFC⌢ ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。 因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以 B 和 D 为圆心、 a 为半径的两个四分之一圆周 AEC⌢ 和 AFC⌢ 所围成的，其面积为 S=2(14πa2−12a2)=π−22a2

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