题目

已知 ，直线 为曲线 在 处的切线，直线 与曲线 相交于点 且 . （1） 求 的取值范围； （2） （i）证明： ； （ii）证明： . 答案： 解：因为 f(x)=lnxx ， 所以 f′(x)=1−lnxx2 ，则 f′(t)=1−lntt2 ， 所以 y=f(x) 在 (t，f(t)) 处的切线为 y−lntt=1−lntt2(x−t)⇒y=1−lntt2x−1t+2lntt ， 令 g(x)=lnxx−1−lntt2x+1t−2lntt ， 显然 g(t)=0 ， g′(x)=1−lnxx2−1−lntt2 ， g″(x)=2lnx−3x3=0⇒x=e32 ， 当 0<x<e32 时， g″(x)<0 ，当 x>e32 时， g″(x)>0 ， 所以 g′(x) 在 (0，e32) 上递减，在 (e32，+∞) 上递增， 若 t≤e32 ，当 x∈(0，t) 时， g′(x)>g′(t)=0 所以 g(x) 在 (0，t) 上递增， 所以 g(x)<g(t)=0 ， 所以 g(x) 在 x∈(0，t) 上无零点，舍去. 若 t>e32 ，因为 1−lntt2>−12e3 ， 所以 x∈(0，t) 时，当 x=e32 时， g′(x) 取得最小值 g′(e32)=−12e3−1−lntt2<0 ； 又 x→0 时， g′(x)→+∞ ， 则存在 x0∈(0，e32) ，有 g′(x0)=0 ， 当 0<x<x0 时， g′(x0)>0 ，当 x0<x<t 时， g′(x0)<0 ， 所以g（x）在 (0，x0) 上递增，在 (x0，t) 上递减， 所以当 x=x0 时， g(x) 取得极大值 g(x0)>g(t)=0 ， 又 x→0 时， g(x)→−∞ ， 所以存在 x0′∈(0，x0) ，有 g(x0′)=0 故 g(x) 在 (0，t) 存在零点， 所以 t 的取值范围是 (e32，+∞) 证明：（i）令 h(x)=lnx−[1+1e⋅(x−e)−12e2⋅(x−e)2+13e3⋅(x−e)3] ， 则 h(e)=0 ， h′(x)=1x−1e+1e2⋅(x−e)−1e3⋅(x−e)2 ， h″(x)=−1x2+1e2−2e3⋅(x−e) ， h‴(x)=2x3−2e3 ， 令 h‴(x)=0 ，得 x=e ， 当 0<x<e 时， h‴(x)>0 ，当 x>e 时， h‴(x)<0 ， 所以当 x=e 时 h″(x) 取得最大值 h″(e)=0 ， 所以 h″(x)≤0 ，则 h′(x) 递减， 又因为 h′(e)=0 ， 所以当 0<x<e 时， h′(x)>0 ，当 x>e 时， h′(x)<0 ， 所以当 x=e 时 h(x) 取得最大值 h(e)=0 ， 所以 h(x)≤0 ，即 lnx≤1+1e⋅(x−e)−12e2⋅(x−e)2+13e3⋅(x−e)3 ； （ii）先证 lns<lnt+1t⋅(s−t)−12t2⋅(s−t)2+13t3⋅(s−t)3 ， 令 r(x)=lnt+1t⋅(x−t)−12t2⋅(x−t)2+13t3⋅(x−t)3−lnx ， 则 r′(x)=1t−1t2(x−t)+1t3⋅(x−t)2−1x ， ⇒r″(x)=−1t2+2t3⋅(x−t)+1x2 ⇒r‴(x)=2t3−2x3 令 r‴(x)=0 ，得 x=t ， 当 0<x<t 时， r‴(x)<0 ，当 x>t 时， r‴(x)>0 ， 所以当 x=t 时 r″(x) 取得最小值 r″(t)=0 ， 所以 r″(x)≥0 ，则 r′(x) 递增， 又因为 r′(t)=0 ， 所以当 0<x<t 时， r′(x)<0 ，当 x>t 时， r′(x)>0 ， 所以当 x=t 时， r(x) 取得最小值 r(t)=0 ， 又因为 x<t ， 所以 r(x)>0 ， 即得证. 因为 (s，f(s)) 是 l 上的点， 所以 lnss=1−lntt2(s−t)+lntt ， 所以 lnss=1−lntt2(s−t)+lntt<lnt+1t⋅(s−t)−12t2⋅(s−t)2+13t3⋅(s−t)3s ， ⇒1−lntt2(s−t)s+s−ttlnt<1t⋅(s−t)−12t2⋅(s−t)2+13t3⋅(s−t)3 ， ⇒(s−t)21−lntt2<−12t2⋅(s−t)2+13t3⋅(s−t)3 ， ⇒1−lntt2<−12t2+13t3⋅(s−t)⇒1−lnt<−12+13t⋅(s−t) ， ⇒s>112t−3tlnt .

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