题目

已知函数 （1） 若a=1，证明：当 时， （2） 若 在 只有一个零点，求 . 答案： a=1时，f（x）=ex-x2欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明： x2+1ex≤1令 g(x)=x2+1ex 则 g'(x)=2x−x2−1ex=−(x−1)2ex≤0∴g（x）是（0，+∞）上的减函数，所以g（x）≤g（0）=1，即 x2+1ex≤1所以ex-x2≥1，即f（x）≥1 当a﹥0时， h'(x)=a(x2−2x)ex 令h’（x）=0 解得x=2，h（2）= 1−4ae2当x∈（0，2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0；∴h（x）在（0，2）单调递减，∴在（2，+∞）单调递增.（i）0﹤a﹤ e24 时，h（2）=1- 4ae2 ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意；（ii）a= e24 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意；（iii）a﹥ e24 时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- 4ae2 ﹤0；由（1）知：x﹥0，ex﹥x2+1 ∴ex= ex2·ex2 ﹥ x416令 x416 ﹥ax2，解得：x﹥4 a ，当b﹥4 a 时，eb﹥ b416 ﹥ab2取b满足b﹥2，且b﹥4 a ，则 f(b)=1−ab2eb﹥0所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意；综上：a= e24 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.

查看本题答案和解析