题目

已知向量. （1） 求与平行的单位向量； （2） 设 ， 若存在 ， 使得成立，求k的取值范围. 答案： 解：设c→=(x，y)，根据题意得{x2+y2=1，3y+x=0，解得{x=32，y=−12，或{x=−32，y=12，∴c→=(32，−12)或c→=(−32，12). 解：∵a→=(3，−1)，b→=(12，32)，∴a→⋅b→=0.∵x→⊥y→，∴−kt|a→|2+(t2+3)|b→|2=0.∵|a→|=2，|b→|=1，∴t2−4kt+3=0.问题转化为关于t的二次方程t2−4kt+3=0在[0，2]内有解.令f(t)=t2−4kt+3，①当2k⩽0，即k⩽0时，f(t)在 [0，2]内为增函数，f(0)=3方程t2−4kt+3=0在[0，2]内无解.②当0<2k⩽2，即0<k⩽1时，由Δ=16k2−12⩾0，解得k⩽−32或k⩾32，∴32⩽k⩽1.③当2k>2，即k>1时，f(t)在 [0，2]内为减函数，由f(2)⩽0得4−8k+3⩽0.解得k⩾78，∴k>1.综上，实数k的取值范围为[32，+∞).

查看本题答案和解析