题目

如图.在 中， ， ， ， 是 的中位线，连结 ，点 是边 上的一个动点，连结 交 于 ，交 于 . （1） 当点 是 的中点时，求 的值及 的长 （2） 当四边形 与四边形 的面积相等时，求 的长： （3） 如图2.以 为直径作 . ①当 正好经过点 时，求证： 是 的切线： ②当 的值满足什么条件时， 与线段 有且只有一个交点. 答案： 解： ∵D.E,F 分别是 AC，AB，BC 的中点， ∴BD，AF 的交点 H 是 △ABC 的重心， ∴DH:BH=1:2 ∴GF=12AF⋅HF=13AF ∴GH=16AF ∵在 Rt△ABC 中， AC=6, AB=10 ∴BC=AB2−AC2=102−62=8 ∴AF=AC2+CF2=62+42=213 ∴GH=133 解：∵四边形 DCFH 与四边形 BEGH 的面积相等， ∴四边形 DCFG 与 △DEB 的面积相等. ∵ △DEB 的面积 =4×3÷2=6 ， 设 DG=a, CF=2a ，则 (a+2a)×3÷2=6 ， ∴a=43 ∴CF=83 解：①如图，连结  CH. OH  ， ∵CF 为 ⊙O 的直径， ∴∠FHC=∠AHC=90° . ∵D 为 AC 的中点， ∴AD=CD=DH ， ∴∠1=∠2 . ∵OC=OH ， ∴∠3=∠4 ， ∴∠DHO=∠ACO=90° ， ∴BD 是 ⊙O 的切线. ② ⊙O 与线段 DE 有且只有一个交点时： （ⅰ） ⊙O 与 DE 相切，则 ⊙O 的半径 r=3 ， 则 BF=3−6=2, DG=3 ， ∴DHBH=DGBF=32 （ⅱ）当 ⊙O 经过点 E 时，设 ⊙O 的半径为 r ， 如图，连接 OE ，作 OM⊥DE 于点 M ， 则 ME=4−r, OM=3, OE=r ， 由勾股定理，可得 r=258 ， ∴BF=8−2r=74, DG=258 ∴DHBH=DGBF=2514 综上，当 DHBH=32 或 DHBH>2514 时， ⊙O 与线段 DE 有且只有一个交点.

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