题目

已知函数 ， 为的导函数. （1） 证明：在内存在唯一零点. （2） 当时， ， 求的取值范围. 答案： 证明：因为f(x)=xsinx+2cosx+x，所以f′(x)=xcosx−sinx+1.记g(x)=f′(x)=xcosx−sinx+1，则g′(x)=−xsinx.当x∈[π2，π)时，g′(x)<0；当x∈(π，2π]时，g′(x)>0.g(x)在[π2，π)上单调递减，在(π，2π]上单调递增，即f′(x)在[π2，π)上单调递减，在(π，2π]上单调递增.因为f′(π2)=0，f′(π)=−π+1<0，f′(2π)=2π+1>0，所以存在唯一x0∈(π，2π)，使得f′(x)=0，即f′(x)在(π2，2π)内存在唯一零点. 解：由（1）可知当x∈[π2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，2π]时，f′(x)>0.所以f(x)在[π2，x0)上单调递减，在(x0，2π]上单调递增.因为当x∈[π2，2π]时，f(x)≤ax恒成立，则至少满足f(π2)=π≤π2⋅a，f(2π)=2π+2≤2aπ，即a≥2，①当x∈[π2，3π2]时，f(3π2)=0，f(x)max=f(π2)=π，满足f(x)≤2x；②当x∈[3π2，2π]时，f(x)max=f(2π)=2π+2，而2x≥2⋅3π2=3π，满足f(x)≤2x.即当x∈[π2，2π]时，都有f(x)≤2x.又当a≥2，x∈[π2，2π]时，ax≥2x，从而当a≥2时，f(x)≤ax对一切x∈[π2，2π]恒成立.故a的取值范围为[2，+∞).

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