题目

如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON， （1） 求该二次函数的关系式； （2） 若点A的坐标是（6，﹣3），求△ANO的面积； （3） 若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由． 答案： 解：∵二次函数的顶点坐标为（4，﹣4），∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣4）2﹣4，又二次函数过（0，0），∴0=a（0﹣4）2﹣4，解得：a= 14 ，∴二次函数解析式为y= 14 （x﹣4）2﹣4= 14 x2﹣2x 解：设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，﹣3）代入得﹣3=6k，解得k=﹣ 12 ，∴直线OA的解析式为y=﹣ 12 x，把x=4代入y=﹣ 12 x得y=﹣2，∴M（4，﹣2），又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，﹣6），∴MN=4，∴S△ANO= 12 ×6×4=12 解：①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：设A（m， 14 m2﹣2m），又O（0，0），∴直线AO的解析式为y= 14m2−2mm x=（ 14 m﹣2）x，则M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4， 14 m2﹣2m），∴OD=4，ND=m，HA=m﹣4，NH=ND﹣HD= 14 m2﹣m，在Rt△OND中，tan∠ONM= ODDN = 4m ，在Rt△ANH中，tan∠ANM= HAHN = m−414m2−m = 4(m−4)m(m−4) = 4m ，∴tan∠ONM=tan∠ANM，则∠ANM=∠ONM；②△ANO能为直角三角形，理由如下：分三种情况考虑：（i）若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，∴△AHN为等腰直角三角形，∴HA=NH，即m﹣4= 14 m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16=0，即（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；（ii）若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，∵OA2=m2+（ 14 m2﹣2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m﹣4）2+（ 14 m2﹣2m+m）2，∴m2+（ 14 m2﹣2m）2+42+m2=（m﹣4）2+（ 14 m2﹣2m+m）2，整理得：m（m2﹣8m﹣16）=0，解得：m=0或m=4+4 2 或4﹣4 2 （舍去），当m=0时，A点与原点重合，故∠AON不能为直角，当m=4+4 2 ，即A（4+4 2 ，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角；（iii）若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，∴△AMN∽△DMO，又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，∴△AMN∽△DON，∴△AMN∽△DMO∽△DON，∴ MDOD = ODND ，即 8−m4 = 4m ，整理得：（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO能为直角三角形，当m=4+4 2 ，即A（4+4 2 ，4）时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角

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