题目

如图， 是 的直径，点 、 是 上的点，且 ， 分别与 、 相交于点 、 ． （1） 求证：点 为 的中点； （2） 若 ， ，求 的长； （3） 若 的半径为 ， ，点 是线段 上任意一点，试求出 的最小值． 答案： 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠OFA＝90°， ∴OF⊥AC， ∴ AD⌢ ＝ CD⌢ ， 即点D为 AC⌢ 的中点； 解：∵OF⊥AC， ∴AF＝CF， 而OA＝OB， ∴OF为△ACB的中位线， ∴OF＝ 12 BC＝3， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2； 解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图， ∵PC＝PC′， ∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′， ∴此时PC+PD的值最小， ∵ AD⌢ ＝ CD⌢ ， ∴∠COD＝∠AOD＝80°， ∴∠BOC＝20°， ∵点C和点C′关于AB对称， ∴∠C′OB＝20°， ∴∠DOC′＝120°， 作OH⊥DC′于H，如图， 则∠ODH＝30°， 则C′H＝DH， 在Rt△OHD中，OH＝ 12 OD＝ 52 ， ∴DH＝ 3 OH＝ 532 ， ∴DC′＝2DH＝ 53 ， ∴PC+PD的最小值为 53 ．

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