题目

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2 ，P是AC上的一个动点． （1） 当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP、BP，求CP、DP的长； （2） 当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数； （3） 当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时平行四边形的面积． 答案： 解：在Rt△ABC中，AB＝23，∠BAC＝30°，∴BC＝3，AC＝3．（1）如图（1），作DF⊥AC，∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝32．∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°， ∴CP＝1，PF＝12， ∴DP=PF2+DF2=102．​ 解：当P点位置如图（2）所示时， 根据（1）中结论，DF＝32，∠ADF＝45°，又PD＝BC=3， ∴DFPD＝32， ∴∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°． 解：∵BC⊥AC ∴只有当DP⊥AC时，以D，P，B，Q为顶点的四边形为平行四边形.如图，在▱DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC．根据（1）中结论可知，DP＝CP＝32，∴S▱DPBQ＝DP·CP＝94．

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