题目

如图，抛物线与x轴交于点A（ ， 0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC． （1） 求抛物线的函数关系式； （2） 点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式； （3） 若＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标． 答案： 解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=-32x2+52x+1； 解：当-13＜t＜2时，yN＞0，∴NP=|yN|=yN=-32t2+52t+1，∴S=12AB•PN=12×（2+13）×（-32t2+52t+1）=76（-32t2+52t+1）=-74t2+3512t+76； 解：∵△OPN∽△COB，∴POOC=PNOB，∴PO1=PN2，∴PN=2PO．①当-13＜t＜0时，PN=|yN|=yN=-32t2+52t+1，PO=| t |=﹣t，∴-32t2+52t+1=﹣2t，整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=9+1056，t2=9-1056．∵9+1056＞0，﹣13＜9-1056＜0，∴t=9-1056，此时点N的坐标为（9-1056，105-93）；②当0＜t＜2时，PN=|yN|=yN=-32t2+52t+1，PO=| t |=t，∴-32t2+52t+1=2t，整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t3=-23，t4=1．∵-23＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．综上所述：点N的坐标为（9-1056，105-93）或（1，2）．

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