题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）. （1） 求抛物线的解析式. （2） 若△AOC与△FEB相似，求a的值. （3） 当PH＝2时，求点P的坐标. 答案： 解：点C（0，4），则c＝4， 二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4， 将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4 解：tan∠ACO＝ AOCO ＝ 14 ， △AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO， 即：tan∠FEB＝ 14 或4， ∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a， EB＝4﹣a， 则 a4−a=14 或 a4−a=4 ， 解得：a＝ 165 或 45 解：令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）； 分别延长CF、HP交于点N， ∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°， ∴∠FPN＝∠NFB， ∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE， ∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB， ∴△PNF≌△BEF（AAS）， ∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a， ∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4）， ∵PH＝2， 即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|， 解得：a＝1或 12 或 3+174 或 3−174 （舍去）， 故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（ 3+172 ，4）.

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