题目

如图甲所示，两块间距为l、板长均为 的金属板水平正对放置，荧光屏 为二分之一圆弧面，让质量为m、电荷量为q的带电粒子流从两板左端连线的中点O以初速度v水平射入板间，粒子从射入到打在屏上 所用的时间为 。现将下板接地，上板的电势 随时间t的变化规律如图乙所示，其中 ，所有射出金属板的粒子均能垂直打在荧光屏上。已知粒子通过板间所用时间远小于T（粒子通过板间时极板电势可视为不变），粒子打在金属板或屏上后均被吸收，粒子间的相互作用及粒子所受的重力均不计。 （1） 求荧光屏 的半径R； （2） 求粒子从射入到打在屏上的最短时间 （3） 若仅将下板竖直下移l，求粒子能打在屏上的弧长s。 答案： 由所有射出金属板的粒子均能垂直打在荧光屏上，则粒子射出金属板时的速度方向的反向延长线既是金属板间水平位移的中点，又是右侧荧光屏的圆心，由几何关系得 32l+R=v⋅t0 解得 R=3l 设粒子恰好从上板右边缘离开时的板间电压为 U1 ，板间场强大小为 E1 ，带电粒子在金属板间做类平抛运动时的加速度大小为 a1 ，运动的时间为 t1 ，则 平行金属板方向 3l=vt1 垂直金属板方向 l2=12a1t12 由牛顿第二定律 qE1=ma1 U1=E1l 联立解得 U1=mv23q 由 U1<U ，则粒子可以从金属板右边缘离开，设离开时的速度方向与 OO1 间的夹角为 α1 ，且当 α1 取最大值时，粒子从射入到打在屏上的时间最短，根据粒子平行金属板方向一直以初速度v做匀速直线运动，得 tanα1=l/23l/2 32l+Rcosα1=v⋅tmin 解得 tmin=(3+3)l2v 当电压为U时，设板间场强大小为 E2 ，带电粒子在金属板间做类平抛运动时的加速度大小为 a2 ，粒子垂直金属板方向向下的位移为y，斜向右下离开金属板时的速度方向与 OO1 间的夹角为 α2 ，则平行金属板方向    3l=vt1 垂直金属板方向    y=12a2t12 由牛顿第二定律    qE2=ma2 U=E2⋅2l 联立解得    y=32l 由 y>l2 ，则粒子斜向右上离开金属板时垂直金属板方向的最大位移为 l2 ，速度方向与 OO1 间夹角的最大值为 α1 。由 tanα2=y32l s=(α1+α2)R 解得   s=53π12l

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