题目

宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m的小球(可视为质点)，如图所示.当在最高点给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R，引力常量为G.求： （1） 若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？ （2） 月球的平均密度为多大？ （3） 轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？ 答案： 解：对实验中小球在最高点： mg=mv2r 对月球近地卫星最小发射速度： mg=mv12R ，解得 v1=Rrv 解：由 GMmR2=mg 解得 M=gR2G 又 ρ=M43πR3 解得 ρ=3v24πGRr 解：对该卫星有： GMm1(2R)2=m14π2T2(2R) 解得： T=4π2Rrv2

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