题目

某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的:① ;② ;③ . （1） 已知 ∈(1.41，1.42)， ∈(1.73，1.74)， ∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算)； （2） 请将此规律推广至一般情形，并加以证明. 答案： 解：验证①式成立：∵ 3 <1.74，∴ 1+3 <2.74. ∵ 2 >1.41，∴ 22 >2.82，∴ 1+3<22 . 同理可验证②③正确. 说明：若用分析法证明（不用近似计算），也认为是对的. 解：一般结论为:若n∈N*，则 n+n+2<2n+1 . 证明如下： 要证 n+n+2<2n+1 ，只需证 (n+n+2)2<(2n+1)2 ， 即证 2n+2+2nn+2<4n+4 ，即证 nn+2<n+1 ， 只需证 n(n+2)<n2+2n+1 ，即证0<1，显然成立， 故 n+n+2<2n+1

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