题目

已知定义域为 的函数 是奇函数． （1） 求 的值； （2） 证明 在 上为减函数； （3） 若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 答案： 解：∵ f(x) 为 R 上的奇函数， ∴由 f(0)=0 得 b=1 ， 又 f(−1)=−f(1) 得 a=1 ， ∴a=1 , b=1 解：任取 x1，x2∈ R ，且 x1<x2 ，则 f(x1)−f(x2)=1−3x13x1+1−1−3x23x2+1=(1−3x1)(3x2+1)−(1−3x2)(3x1+1)(3x1+1)(3x2+1)=2(3x2−3x1)(3x1+1)(3x2+1) ， ∵ x1<x2 , ∴ 3x2>3x1 ， ∵ (3x1+1)(3x2+1)>0 ， ∴ f(x1)−f(x2)>0 ， 即 f(x1)>f(x2) ， 故 f(x) 为 R 上的减函数 解：由 f(kt2)+f(2−3t)<0 得 f(kt2)<−f(2−3t) ， ∵ f(x) 是奇函数,∴ f(kt2)<f(3t−2) ， ∵ f(x) 在 R 上为减函数 ， ∴ kt2>3t−2 对 t∈ R 恒成立，即 kt2−3t+2>0 恒成立， 当 k≤0 时显然不成立， 当 k>0 时，满足 Δ=9−8k<0 ，解得 k>98 ， 综上可得： k>98

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