题目

开普勒定律发现以后，牛顿在前人对惯性研究的基础之上，开始思考：行星沿圆周或者椭圆运动，需要指向圆心或者椭圆焦点的力，这个力就应该是太阳对行星的引力。 （1） 我们把行星绕太阳的运动近似看成匀速圆周运动。请你运用牛顿运动定律、开普勒定律以及圆周运动的向心力公式等已经学习过的知识，推导出太阳与行星间引力的表达式； （2） 牛顿推导出太阳与行星间的引力表达式后，进一步思考；太阳对行星的作用力、地球对月球的作用力、地球对树上苹果的作用力是不是同一种性质的力呢？这就是著名的“月地检验”。已知地球表面物体做自由落体运动的加速度g约为 ，地球半径约为 ，月球中心距地球的距离约为 ，月球的公转周期为27.3d，约 ，请根据这些数据完成“月地检验”的证明。 答案： 根据牛顿第二定律推理论证可以知道，太阳对行星的引力就是行星围绕太阳运动的向心力。设行星的质量为m，速度为 v ，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力 F=mv2r 天文观测可以测得行星公转的周期T，并据此可以求出行星的速度 v=2πrT 把这个公式代入向心力表达式，整理后得到 F=4π2mrT2 对于所有围绕太阳运动的行星，根据开普勒第三定律有 r3T2=k 变形可得 T2=r3k 代入上面的关系式得到 F=4π2kmr2 上式等号右边除了m、r之外其余都是常量，对任何行星都是一样的，所以太阳对行星的引力F与行星的质量m成正比，与 r2 成反比。力的作用是相互的，根据牛顿第三定律，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位是相当的，因此行星对太阳的引力也应与太阳的质量 m太 成正比。综合上述各式，写成等式就是 F=Gm太mr2 式中G与太阳行星都没有关系。 假设地球与月球间的作用力和太阳对行星的引力是同一种力，它们的表达式也应该满足 F=Gm地mr2 根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度 a月=Fm=Gm地r2 式中 m地 是地球质量， r 是地球中心与月球中心的距离，假设地球对苹果的引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度 a苹=Fm苹=Gm地R2 式中 m地 是地球质量，R是地球中心与苹果之间的距离，由以上两式可以得 a月a苹=R2r2 由题干所给的地球中心与苹果之间的距离和地球中心与月球中心的距离数据可知 a月a苹=1602 根据月球绕地球运动的周期、月球中心与地球中心的距离等相关数据可以求出月球绕地球运动的向心加速度 a月=2.7×10−3m/s2 月球绕地球运动的向心加速度与苹果做自由落体运动的加速度的比值 a月a苹≈13619≈160.152 根据月球实际运动的加速度和苹果做自由落体运动的加速度，计算出的结果与预期符合得很好。这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星之间的引力，真的遵从相同的规律！

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