题目

若在定义域内存在实数x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）有“漂移点”． （1） 用零点存在定理证明：函数f（x）=x2+2x在[0，1]上有“漂移点”； （2） 若函数g（x）=lg（ ）在（0，+∞）上有“漂移点”，求实数a的取值范围． 答案： 解：令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1）， 又h（0）=-1，h（1）=2，∴h（0）h（1）＜0， ∴h（x）=0在（0，1）上至少有一实根x0， 故函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点” 解：若f（x）=lg（ ax02+1 ）在（0，+∞）上有飘移点x0，由题意知a＞0， 即有lg a(x0+1)2+1 =lg（ ax02+1 ）+lg a2 成立，即 a(x02+1)2+1=ax02+1−a2 ， 整理得（2-a） x02 -2ax0+2-2a=0， 从而关于x的方程g（x）=（2-a）x2-2ax+2-2a在（0，+∞）上应有实根x0， 当a=2时，方程的根为 x=−12 ，不符合题意， 当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴 x=a2−a>0 ， 可知，只需△=4a2-4（2-a）（2-2a）≥0， ∴ 3−5≤a≤3+5 ，即有 3−5≤a<2 ， 当a＞2时，由于函数g（x）的对称轴 x=a2−a<0 ， 只需g（0）＞0即2-2a＞0，所以a＜1，无解． 综上，a的取值范围是[3- 5 ，2）．

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