题目

学习函数知识后，某校高一年级数学小组进行了数学建模活动，通过对学校附近超市的某一商品销售情况的调查发现：该商品在最近的一个月内（以30天计）的日销售价格 （元/件）与时间x（天）的函数关系近似满足 （k为常数，且 ），该商品的日销售量 （件）与时间x（天）对应关系的部分数据如表所示： x（天） 10 20 25 30 （件） 110 120 125 120 已知第10天该商品的日销售收入为121，且该商品的日销售收入与x的函数关系为 （单位：元）. （1） 求k的值； （2） 给出以下两种函数模型：① ，② .请你根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间x的关系，并求出该函数的解析式； （3） 根据（2）中的 ，求 的最小值. 答案： 依题意有： f(x)=P(x)⋅Q(x) ， 因为第10天该商品的日销售收入为121，所 f(10)=P(10)⋅Q(10) ， 即 121=(1+k10)×110 ，解得 k=1 ； 由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故答案为：② Q(x)=a|x−25|+b . 从表中选取两组值： x=10，y=110 ； x=20，y=120 代入可得 {110=a|10−25|+b120=a|20−25|+b ， 解得： a=−1，b=125 ， 得 Q(x)=−|x−25|+125=125−|x−25| (x∈N*) ； ∵ Q(x)=125−|x−25|={100+x，(1⩽x<25，x∈N)150−x，(25⩽x⩽30，x∈N*) ， 所以当 1≤x<25 (x∈N*) 时， f(x)=P(x)⋅Q(x)=(1+1x)(100+x)=x+100x+101 ， 当 25≤x<30 (x∈N*) 时， f(x)=P(x)⋅Q(x)=(1+1x)(150−x)=150x−x+149 ， ∴日销售收入： f(x)={x+100x+101，(1⩽x<25，x∈N*)150x−x+149，(25⩽x⩽30，x∈N*) . ①当 1≤x<25 时， f(x)=x+100x+101⩾2x⋅100x+101=121 元，当且仅当 x=10 时等号成立； ②当 25≤x≤30 时，函数 f(x)=150x−x+149 为减函数， ∴当 x=30 时， f(x)min=15030−30+149=124 . 由于 124>121 ，故 f(x) 的最小值为121元. 综上所述：当 x=10 时， f(x) 的最小值为121元.

查看本题答案和解析