题目

如图，抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ． （1） 求二次函数的表达式及顶点坐标； （2） 若点P为抛物线上的一点，且 ，求点P的坐标；； （3） 连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使 是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c 将 A(1，0) 、 B(3，0) 、 C(0，3) 分别代入得 {a+b+c=09a+3b+c=0c=3 解得： {a=1b=−4c=3 ∴ 二次函数表达式为 y=x2−4x+3 ∴y=x2−4x+3=(x−2)2−1 ∴ 顶点坐标为 (2，−1) 解： AB=3−1=2 ∵SΔABP=AB⋅|yp|2=1 ∴|yp|=1 ∴yp=±1 当 yp=1 时， x2−4x+3=1 解得 x1=2+2 ， x2=2−2 ； 当 yp=−1 时， x2−4x+3=−1 解得 x1=x2=2 ， ∴ 点p的坐标为 (2−2，1) 、 (2+2，1) 、 (2，−1) 解：存在，符合条件的点E共有4个，坐标分别为 (2，5) ， (2，−1) ， (2，3+172) 、 (2，3−172) ，理由如下： 抛物线的对称轴为 x=2 ，设 E(2，t) 得， |BC|2=32+32=18 |BE|2=(2−3)2+t2=1+t2 |CE|2=22+(t−3)2=t2−6t+13 当 BC⊥BE 时， |BC|2+|BE|2=|CE|2 ∴18+1+t2=t2−6t+13 ∴t=−1 ∴E(2，−1) ； 当 BC⊥CE 时， |BC|2+|CE|2=|BE|2 ∴18+t2−6t+13=1+t2 ∴t=5 ∴E(2，5) ； 当 BE⊥CE 时， |BE|2+|CE|2=|BC|2 ∴1+t2+t2−6t+13=18 ∴t2−3t−2=0 ∵a=1，b=−3，c=−2 ∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−2)=17 ∴t1=−b+Δ2a=3+172，t2=−b−Δ2a=3−172 此时 E(2，3+172) 或 (2，3−172) ， 综上所述，符合条件的点E共有4个，坐标分别为 (2，5) ， (2，−1) ， (2，3+172) 、 (2，3−172) ．

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