题目

设 ，其中 ． （1） 当 时，分别求 及 的值域； （2） 记 ， ，若 ，求实数t的值． 答案：解：当 t=1 时，由 f(x)=x2+2x=(x+1)2−1≥−1 ， 当且仅当 x=−1 时，取等号，即 f(x) 的值域为 [−1,+∞) ． 设 u=f(x) ，则 u≥−1 ， 则 f(f(x))=f(u)=(u+1)2−1≥−1 ， 当且仅当 u=−1 ，即 x=−1 时，取等号， 故 f(f(x)) 的值域为 [−1,+∞) ( 2 ) 记 A={y|y=f(x),x∈[−t,−t+1]} ， B={y|y=f(f(x)),x∈[−t,−t+1]} ，若 A=B ，求实数t的值． 解： ∵x∈[−t,−t+1] ， ∴f(x)=(x+t)2−t2∈[−t2,−t2+1] ，即此时函数 f(x) 的值域为 [−t2,−t2+1] ， ∵f(x)min=−t2 ， ∴−t2≤−t≤−t2+1 ，得 1≤t≤1+52 或 1−52≤t≤0 ， ① 当 −t≥−t2+12 时，即 t≥1+32 或 t≤1−32 ， f(f(x))max=f(−t2)=t4−2t3≡−t2+1 ，即 t2(t2−2t+1)≡1 ， 即 t2(t−1)2≡1 ，则 t(t−1)=±1 ，得 t=1+52 或 1−52 成立． ② 当 −t<−t2+12 时，即 1−32≤t≤1+32 时， f(f(x))max=f(−t2+1)=(−t2+1)2+2t(−t2+1)=−t2+1 ， 即 t4−2t3−t2+2t=0 ，即 t(t−2)(t2−1)=0 ， 即 t=±1 或 t=0 或 t=2 ， t=1 或 t=0 满足条件 . ， 综上 t=1 或 t=0 或 t=1+52 或 1−52 成立 解：当 t=1 时，由 f(x)=x2+2x=(x+1)2−1≥−1 ，当且仅当 x=−1 时，取等号，即 f(x) 的值域为 [−1,+∞) ．设 u=f(x) ，则 u≥−1 ，则 f(f(x))=f(u)=(u+1)2−1≥−1 ，当且仅当 u=−1 ，即 x=−1 时，取等号，故 f(f(x)) 的值域为 [−1,+∞) 解： ∵x∈[−t,−t+1] ， ∴f(x)=(x+t)2−t2∈[−t2,−t2+1] ，即此时函数 f(x) 的值域为 [−t2,−t2+1] ，∵f(x)min=−t2 ，∴−t2≤−t≤−t2+1 ，得 1≤t≤1+52 或 1−52≤t≤0 ，① 当 −t≥−t2+12 时，即 t≥1+32 或 t≤1−32 ，f(f(x))max=f(−t2)=t4−2t3≡−t2+1 ，即 t2(t2−2t+1)≡1 ，即 t2(t−1)2≡1 ，则 t(t−1)=±1 ，得 t=1+52 或 1−52 成立．② 当 −t<−t2+12 时，即 1−32≤t≤1+32 时，f(f(x))max=f(−t2+1)=(−t2+1)2+2t(−t2+1)=−t2+1 ，即 t4−2t3−t2+2t=0 ，即 t(t−2)(t2−1)=0 ，即 t=±1 或 t=0 或 t=2 ，t=1 或 t=0 满足条件 . ，综上 t=1 或 t=0 或 t=1+52 或 1−52 成立

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