题目

如图，四棱锥的底面为等腰梯形， ， 且 ， ， 平面平面ACB. （1） 求证：； （2） 若 ， 求直线AE与平面ACD所成角的大小. 答案： 证明：因为平面ACD⊥平面ACB，且平面ACD∩平面ACB=AC，AB⊥AC，所以AB⊥平面ACD，又因为CD⊂平面ACD，所以CD⊥AB. 解：如图，建立空间直角坐标系.由已知条件，易得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0).在△BCD中，由余弦定理可得BD2=12+4−2×22×2×22=52，所以AD=BD2−AB2=62，在△ACD中，由余弦定理得cos∠DAC=32+3−122×62×3=223，所以D(0，233，66)，因为DE→=12CB→，所以E(12，36，66)，AE→=(12，36，66)，又平面ACD的一个法向量即为AB→=(1，0，0)，设直线AE与平面ACD所成角为θ，则sinθ=|cos⟨AB→，AE→⟩|=|AB→⋅AE→||AB→|⋅|AE→|=22，所以直线AE与平面ACD所成角为π4.

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