题目

在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.在以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 . （1） 求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； （2） 若直线 与曲线 交于 两点，求 . 答案： 解：由 {x=1−3t，y=1+t，  得 l 的普通方程为 x+3y=1+3 ，又因为 {x=ρcosθ，y=ρsinθ，  ， 所以 l 的极坐标方程为 ρ(cosθ+3sinθ)=1+3 ．由 ρ=2cosθ 得 ρ2=2ρcosθ ，即 x2+y2=2x ，所以 C 的直角坐标方程为 x2+y2−2x=0 解：解法一：设 P，Q 的极坐标分别为 (ρ1，θ1)，(ρ2，θ2) ，则 ∠POQ=|θ1−θ2|由 {ρ(cosθ+3sinθ)=1+3，ρ=2cosθ，  消去 ρ 得 2cosθ(cosθ+3sinθ)=1+3 ，化为 cos2θ+3sin2θ=3 ，即 sin(2θ+π6)=32 ，因为 θ∈(0，π2) ，即 2θ+π6∈(π6，7π6) ，所以 2θ+π6=π3 ，或 2θ+π6=2π3 ，即 {θ1=π12，θ2=π4，  或 {θ1=π4，θ2=π12，  所以 ∠POQ=|θ1−θ2|=π6 ．解法二：曲线 C 的方程可化为 (x−1)2+y2=1 ，表示圆心为 C(1，0) 且半径为1的圆．将 l 的参数方程化为标准形式 {x=1−32t′，y=1+12t′  (其中 t′ 为参数)，代入 C 的直角坐标方程为 x2+y2−2x=0 得， (1−32t′)2+(1+12t′)2−2(1−32t′)=0 ，整理得， t′2+t′=0 ，解得 t′=0 或 t′=−1 ．设 P，Q 对应的参数分别为 t1'，t2'  ，则 |PQ|=|t1'−t2'|=1 ．所以 ∠PCQ=60° ，又因为 O 是圆 C 上的点，所以 ∠POQ=∠PCQ2=30°  解法三： 曲线 C 的方程可化为 (x−1)2+y2=1 ，表示圆心为 C(1，0) 且半径为1的圆．又由①得 l 的普通方程为 x+3y−(1+3)=0 ，则点 C 到直线 l 的距离为 d=32 ，所以 |PQ|=21−d2=1 ，所以 △PCQ 是等边三角形，所以 ∠PCQ=60° ，又因为 O 是圆 C 上的点，所以 ∠POQ=∠PCQ2=30°  .【分析】

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