题目

已知数列 满足 ， ．（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）求证：对任意的 ，都有① ；② （ ）． 答案：解：（Ⅰ） ∵ 当 n≥2 时， ann=an−1n−1=⋯=a11=1 ，∴ 当 n≥2 时， an=n ．又 ∵ a1=1 ， ∴ an=n ， n∈N* ．（Ⅱ）①证明：当 n=1 时， 1<3 成立；∵ 当 n≥2 时， nan2=1n3=1n⋅n2<1n(n+1)(n−1) =(1n(n−1)−1n(n+1))⋅1n+1−n−1=(1n−1−1n+1)⋅n+1+n−12n <1n−1−1n+1∴ 1a12+2a22+3a32+⋯+nan2<1+(1−13)+(12−14)+(13−15)+(14−16)+⋯+(1n−2−1n)+(1n−1−1n+1)=1+1+12−1n−1n+1<3∴ 1a12+2a22+3a32+⋯+nan2<3② 1an+1an+1+1an+2+⋯+1ank−1=1n+1n+1+1n+2+⋯+1nk−2+1nk−1设 s=1n+1n+1+1n+2+⋯+1nk−2+1nk−1 ，则 s=1nk−1+1nk−2+⋯+1n+1+1n ，2s=(1n+1nk−1)+(1n+1+1nk−2)+⋯+(1nk−2+1n+1)+(1nk−1+1n)∵ 当 x>0,y>0 时， (x+y)(1x+1y)=2+yx+xy≥4 ， ∴ 1x+1y≥4x+y ，当且仅当 x=y 时等号成立．∴ 当 k≥2,k∈N* 时， 2s>4n+nk−1⋅(nk−n)=4(k−1)1+k−1n>4(k−1)1+k ，∴ s>2(k−1)k+1 ．即 1an+1an+1+1an+2+⋯+1ank−1>2(k−1)k+1 ．

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