题目

如图，已知四棱锥 的底面 为菱形，且 底面 . （1） 证明：平面 平面 . （2） 若 ，且平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的大小. 答案： 证明：因为底面 ABCD 为菱形， 所以 BD⊥AC . 因为 PA⊥ 底面 ABCD ， 所以 PA⊥BD . 又 AC∩PA=A ，所以 BD⊥ 平面 PAC . 因为 BD⊂ 平面 PBD ，所以平面 PBD⊥ 平面 PAC . 解：设 AC 与 BD 交于点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 O−xyz ，如图所示， 设 AB=2,PA=t(t>0) ， 则 P(−3,0,t),A(−3,0,0),B(0,1,0),D(0,−1,0),C(3,0,0) ， 则 PA→=(0,0,−t),AB→=DC→=(3,1,0),PD→=(3,−1,−t) . 设平面 PAB 的法向量为 m→=(x,y,z) ，则 {m⇀⋅PA⇀=−tz=0,m⇀⋅AB⇀=3x+y=0, 令 x=1 ，得 m→=(1,−3,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n→=(x′,y′,z′) ，则. {n⇀⋅PD⇀=3x′−y′−tz′=0,n⇀⋅DC⇀=3x′+y′=0, 令 x′=t ，得 n→=(t,−3t,23) . 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 θ ，则 cosθ=|m→⋅n→||m→||n→|=4t2×4t2+12=277 ， 解得 t=2 ，则 tan∠PCA=t23=33 ，故 ∠PCA=30° .

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