题目

如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点， （1） 用 表示 和 ； （2） 求向量 与 夹角的余弦值． 答案： 解：因为D为斜边BC的靠近点B的三等分点， 所以 BD→=13BC→=13(AC→−AB→)=13AC→−13AB→ ， 所以 AD→=AB→+BD→=23AB→+13AC→ ， 因为E为AD的中点， 所以 AE→=12AD→=12(23AB→+13AC→)=13AB→+16AC→ ， 所以 EB→=AB→−AE→=23AB→−16AC→ , 解： EC→=AC→−AE→=−13AB→+56AC→ , 如图，以 AC→ ， AB→ 所在的方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则 B(0,3),C(6,0) , 所以 EB→=23AB→−16AC→=(−1,2) ， EC→=−13AB→+56AC→=(5,−1) ， 所以 EB→⋅EC→=(−1)×5+2×(−1)=−7 ， |EB→|=(−1)2+22=5,|EC→|=52+(−1)2=26 , 设向量 EB→ 与 EC→ 夹角为 θ ，则 cosθ=EB→⋅EC→|EB→|⋅|EC→|=−75×26=−7130130

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