题目

若函数 的定义域为 ，集合 ，若存在非零实数 使得任意 都有 ，且 ，则称 为 上的 增长函数. （1） 已知函数 ，函数 ，判断 和 是否为区间 上的 增长函数，并说明理由； （2） 已知函数 ，且 是区间 上的 增长函数，求正整数 的最小值； （3） 请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i）得分计入总分) （i）如果对任意正有理数 ， 都是 上的 增长函数，判断 是否一定为 上的单调递增函数，并说明理由； （ii）如果 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 为 上的 增长函数，求实数 的取值范围. 答案： 解： g(x)=x 是；因为 ∀x∈[−1,0] ， g(x+32)−g(x)=(x+32)−x=32>0 ； h(x)=x2 不是，反例：当 x=−1 时， h(−1+32)=h(12)=14<h(−1)=1 . 解：由题意得， |x+n|>|x| 对 x∈[−4,−2] 恒成立 等价于 x2+2nx+n2>x2 ，即 2nx+n2>0 对 x∈[−4,−2] 恒成立 因为 n>0 ，所以 2nx+n2 是关于 x 的一次函数且单调递增，于是只需 −8n+n2>0 ， 解得 n>8 ，所以满足题意的最小正整数 n 为9. 解：（i）不是 构造 f(x)={x, x∈Qx−1,x∈∁RQ ，则对任意正有理数 q ， 若 x∈Q ，则 x+q∈Q ，因此 f(x+q)=x+q>x=f(x) ； 若 x∈∁RQ ，则 x+q∈∁RQ ，因此 f(x+q)=x+q−1>x−1=f(x) . 因此 f(x) 是 R 上的 q -增长函数，但 f(x) 不是增函数. （ii）由题意知 f(x)={x+2a2, x≤−a2−x,     −a2<x<a2x−2a2, x≥a2 已知任意 x∈R ， f(x+4)≥f(x) ， 因为 f(x) 在 [−a2,a2] 上递减，所以 x,x+4 不能同时在区间 [−a2,a2] 上， 因此 4>a2−(−a2)=2a2 注意到 f(x) 在 [−2a2,0] 上非负，在 [0,2a2] 上非正 若 2a2<4≤4a2 ，当 x=−2a2 时， x+4∈[0,2a2] ，此时 f(x+4)≤f(x) ，矛盾 因此 4>4a2 ，即 a∈(−1,1) . 当 4>4a2 时，下证 f(x) 为 R 上的 4 -增长函数： ①当 x+4≤−a2 ， f(x+4)>f(x) 显然成立 ②当 −a2<x+4<a2 时， x<a2−4<−3a2 ，此时 f(x+4)=−(x+4)>−a2 ， f(x)=x+2a2<−a2 ， f(x+4)>f(x) ③当 x+4≥a2 时， f(x+4)=x+4−2a2>x+2a2≥f(x) 因此 f(x) 为 R 上的 4 -增长函数 综上，为使得 f(x) 为 R 上的 4 -增长函数 a 的取值范围是 (−1,1) .

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