题目

已知函数 ， （1） 判断函数 的奇偶性并证明； （2） 判断 在 上的单调性并加以证明. 答案： 解： f(x) 是奇函数，函数 f(x)=x+1x 的定义域为 {x|x≠0} , ∵f(−x)=−x−1x=−(x+1x)=−f(x) ∴f(x)是 奇函数. 解： f(x) 在 （1，+∞） 上是增函数， 证明：设 x1,x2∈(1,+∞), 且 x1<x2 ,则 f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2 ∵x1,x2∈(1,+∞), 且 x1<x2 ， ∴x1−x2<0,x1x2>1, 即 x1x2−1>0 1 即 f(x1)<f(x2) ， ∴函数 f(x)=x+1x 在 (1，+∞) 上是增函数.

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