题目

已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，点 、 分别为其左、右焦点． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若 上存在两个点 、 ，椭圆上有两个点 、 ，满足 、 、 三点共线， 、 、 三点共线，且 ，若四边形 的面积为 ，求直线 的方程． 答案： 解：由题意得 ca=22 ， a2=b2+c2 可得： b=c ， a=2b ， 又因为 (−22)2a2+(32)2b2=1(a>b>0) ，可得 b=c=1 ， a=2 ， 所以椭圆 C 的标准方程为 x22+y2=1 解：由（1）知： F2(1，0) ， ①当直线 MN 斜率不存在时，直线 PQ 的斜率为 0 ， 易得 |MN|=4 ， |PQ|=22 ， SPMQN=42 不符合题意； ②当直线 MN 斜率存在时，设直线方程为 y=k(x−1)(k≠0) ， 与 y2=4x 联立得 k2x2−(2k2+4)x+k2=0 ． 设 M(x1，y1) ， N(x2，y2) ，则 x1+x2=4k2+2 ， x1⋅x2=1 ， 所以 |MN|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=1+k2(4k2+2)2−4=4k2+4 ， 因为 PQ⊥MN ，所以直线 PQ 的方程为 y=−1k(x−1) ， 将直线与椭圆 x22+y2=1 联立，得 (k2+2)x2−4x+2−2k2=0 ． 设 P(x3，y3) ， Q(x4，y4) ，则 x3+x4=4k2+2 ， x3x4=2−2k2k2+2 ， 所以 |PQ|=1+1k2⋅(x3+x4)2−4x3x4 =1+1k2⋅(4k2+2)2−4(2−2k2)k2+2=22(1+k2)k2+2 所以四边形 PMQN 的面积 S=12|MN|⋅|PQ|=12(4k2+4)⋅22(1+k2)k2+2=42(1+k2)2k2(k2+2) ， 所以 42(1+k2)2k2(k2+2)=1623 ，整理可得： k4+2k2−3=0 ， 解得： k2=1 ，即 k=±1 ． 所以直线 MN 的方程为 y=x−1 和 y=−x+1

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