题目

如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将 绕点A逆时针旋转α得 ，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD. （1） 如图1，当 时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）. （2） 如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3） 当 时，若 ，请直接写出点O经过的路径长. 答案： 解： OE=OD ， OE⊥OD ；理由如下： 由旋转的性质得： AF=AC ， ∠AFE=∠ACB ， ∵四边形ABCD是正方形，∴ ∠ACB=∠ACD=∠FAC=45° ， ∴ ∠ACF=∠AFC=12(180°−45°)=67.5° ， ∴ ∠DCF=∠EFC=22.5° ， ∵ ∠FEC=90° ，O为CF的中点，∴ OE=12CF=OC=OF ， 同理： OD=12CF ，∴ OE=OD=OC=OF ， ∴ ∠EOC=2∠EFO=45° ， ∠DOF=2∠DCO=45° ， ∴ ∠DOE=180°−45°−45°=90° ，∴ OE⊥OD 解：当 45°<α<90° 时，（1）中的结论成立，理由如下： 延长EO到点M，使 OM=EO ，连接DM、CM、DE，如图2所示： ∵O为CF的中点，∴ OC=OF ， 在 △COM 和 △FOE 中， {OM=OE∠COM=∠FOEOC=OF ， ∴ △COM ≌ △FOE （SAS），∴ ∠MCF=∠EFC ， CM=EF . ∵四边形ABCD是正方形，∴ AB=BC=CD ， ∠BAC=∠BCA=45° ， ∵ ΔABC 绕点A逆时针旋转α得 ΔAEF ， ∴ AB=AE=EF=CD ， AC=AF ， ∴ CD=CM ， ∠ACF=∠AFC ， ∵ ∠ACF=∠ACD+∠FCD ， ∠AFC=∠AFE+∠CFE ， ∠ACD=∠AFE=45° ， ∴ ∠FCD=∠CFE=∠MCF ， ∵ ∠EAC+∠DAE=45° ， ∠FAD+∠DAE=45° ，∴ ∠EAC=∠FAD ， 在 △ACF 中，∵ ∠ACF+∠AFC+∠CAF=180° ， ∴ ∠DAE+2∠FAD+∠DCM+90°=180° ， ∵ ∠FAD+∠DAE=45° ，∴ ∠FAD+∠DCM=45° ，∴ ∠DAE=∠DCM ， 在 △ADE 和 △CDM 中， {AE=CM∠DAE=∠DCMAD=CD ， ∴ △ADE ≌ △CDM （SAS），∴ DE=DM ， ∵ OE=OM ，∴ OE⊥OD ， 在 △COM 和 △COD 中， {CM=CD∠MCF=∠FCDOC=OC ， ∴ △COM ≌ △COD （SAS），∴ OM=OD . ∴ OE=OD ，∴ OE=OD ， OE⊥OD 解：连接AO，如图3所示： ∵ AC=AF ， CO=OF ，∴ AO⊥CF ，∴ ∠AOC=90° ， ∴点O在以AC为直径的圆上运动， ∵ α=360° ，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长， ∵ AC=2AB=2×42=8 ，∴点O经过的路径长为： πd=8π .

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