题目

如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y轴正半轴上一个动点，AD是角平分线. （1） 如图1，若∠ACB＝90°，直接写出线段AB，CD，AC之间数量关系； （2） 如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数； （3） 如图2，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD. 答案： 解：如图1，过D作DM⊥AB于M， ∵A，B两点关于y轴对称， ∴CA＝CB， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线， ∴CD＝MD，∠ABC＝45°， ∴∠BDM＝45°， ∴BM＝DM， ∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中， {CD=MDAD=AD ， ∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM， ∴AB＝AM+BM＝AC+CD， 即AB＝AC+CD 解：设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°﹣ 12 α， 在AB上截取AK＝AC，连结DK， ∵AB＝AC+BD， ∴BK＝BD， ∵AD是角平分线， ∴在△CAD和△KAD中， {AC=AK∠CAD=∠KADAD=AD ， ∴△CAD≌△KAD（SAS）， ∴∠ACD＝∠AKD＝α， ∴∠BKD＝180°﹣α， ∵BK＝BD， ∴∠BDK＝180°﹣α， 在△BDK中， 180°﹣α+180°﹣α+90°﹣ 12 α＝180°， ∴α＝108°， ∴∠ACB＝108° 解：如图2，在AB上截取AH＝AD，连接DH， ∵∠ACB＝100°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线， ∴∠HAD＝∠CAD＝20°， ∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK， 由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK， ∴∠DKH＝80°＝∠DHK， ∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°， ∴∠BDH＝40°， ∴DH＝BH， ∴BH＝CD， ∵AB＝AH+BH， ∴AB＝AD+CD.

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