题目

如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣ x+1与y轴交于点D． （1） 求抛物线的解析式； （2） 证明：△DBO∽△EBC； （3） 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3，∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴ {9a+3b−3=0a−b−3=0 ， ∴ {a=1b=−2 ，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3， 解：由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=3 2 ，BE=2 5 ，CE= 2 ， ∵直线y=﹣ 13 x+1与y轴交于点D， ∴D（0，1）， ∵B（3，0）， ∴OD=1，OB=3，BD= 10 ， ∴ CEOD=2 ， BCOB=2 ， BEBD=2 ， ∴ CEOD=BCOB=BEBD ， ∴△BCE∽△BDO， 解：存在， 理由：设P（1，m）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴BC=3 2 ，PB= m2+4 ，PC= (m+3)2+1 ， ∵△PBC是等腰三角形， ①当PB=PC时， ∴ m2+4 = (m+3)2+1 ， ∴m=﹣1， ∴P（1，﹣1）， ②当PB=BC时， ∴3 2 = m2+4 ， ∴m=± 14 ， ∴P（1， 14 ）或P（1，﹣ 14 ）， ③当PC=BC时， ∴3 2 = (m+3)2+1 ， ∴m=﹣3± 17 ， ∴P（1，﹣3+ 17 ）或P（1，﹣3﹣ 17 ）， ∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1， 14 ）或P（1，﹣ 14 ）或P（1，﹣3+ 17 ）或P（1，﹣3﹣ 17 ）

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