题目

如图，在三棱锥 中， ， ，O为AC的中点． （1） 证明：PO⊥平面ABC； （2） 若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为 ，求二面角 的平面角的余弦值． 答案： 证明：连接OB． 法一：∵ AB=BC=2，AC=22 ，∴ AB2+BC2=AC2 ，即△ABC是直角三角形， 又O为AC的中点，∴ OA=OB=OC 又∵ PA=PB=PC ， ∴ ΔPOA≅ΔPOB≅ΔPOC ∴ ∠POA=∠POB=∠POC=90∘ ∴ PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=O ，OB、AC ⊂ 平面ABC ∴PO⊥平面ABC 法二：连接 OB ， ∵PA=PC ，O为AC的中点∴ PO⊥AC Q AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=22 ∴ AB⊥BC，BO=2，PO=6   ∴ PO2+OB2=PB2 ∴ PO⊥OB ∴ PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=O ，OB、AC ⊂ 平面ABC ∴PO⊥平面ABC 解：由（1）知 PO⊥面ABC ∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角 ∴ tan∠PMO=POOM=6OM=6 ，∴ OM=1 ， 在△OMC中由正弦定理可得 MC=1 ， ∴M为BC的中点 法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作 EF⊥PA 交PA于F，连MF ∴MF⊥PA  ∴∠MFE即为所求 ME=22 EF=32AE=22×34×32=364 ∴ tan∠MFE=MEEF=22×436=233 ∴ cos∠MFE=3331=39331 法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系 M（ 22 ， 22 ，0）． ∴AM→=(22，322，0)，PA→=(0，−2，−6) 记 n→=(x，y，z) 为面AMP的法向量则 {n→⋅AM→=0n→⋅PA→=0 ⇒{22x+322y=0−2y−6z=0 ⇒{x=33y=−3z=1 ⇒n→=(33，−3，1) 面APC的法向量 m→=(1，0，0) 易知 M−PA−C 所成角为锐角记为 θ，cosθ=|cos(n→，m→)|=|n→⋅m→||n→||m→|=3331=39331

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